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八省联考数学这道题中多面体的总曲率有什么含义?

发布时间:2024-11-21 20:03:37 | 笃行高考网

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八省联考数学这道题中多面体的总曲率有什么含义?

八省联考数学这道题中多面体的总曲率有什么含义?

从连续微分几何的角度来看,这么定义也可以理解,因为曲率本来就可以从holonomy的角度去理解。这题目出成中学数学题也没什么不妥,虽然背景来自微分几何,但是抛开背景,涉及的知识完全是初等的组合数学。

可以知道做功的多少。因为曲率半径越大越省力,而转角越大力走过的路程越大,所以知道这两个参数,就可以计算出做功多少。

平面曲线的曲率:

对于平面曲线C,在一点P的曲率大小等于密切圆半径的倒数,它是一个指向该圆圆心的向量。其大小可用屈光度(dioptre)衡量,1屈光度等于1(弧度)每米。此密切圆的半径即为曲率半径。

密切圆的半径越小,曲率越大;所以曲线接近平直的时候,曲率接近0,而当曲线急速转弯时,曲率很大。 笃行高考网

直线曲率处处为0;半径为r的圆曲率处处为1/r。

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八省联考成绩出来了,某些省份数学平均分才60多,对此你怎么看?

八省联考成绩出来了,可是有些省份的数学平均分才60多,这个数据也让很多人大跌眼球,我们都知道数学的总分一般是150分,90分才算及格,60分的成绩只能说很差,从联考中也可以看出,各个省份在数学方面的成就也有所差异,例如在苏州学生的数学成绩都普遍比较好,而这个数据也透露出很多的问题。

不同地区教学资源存在很大的差异。在中国不同省份各自命题,而且每个大学从每个省份招聘的人数都不相同,例如北京大学在北京招聘的人数要比重庆招聘的人数都很多,北京也拥有更多优秀老师和教学资源,那么在教学过程,学生的成绩很容易受到教学环境的影响,平均60分的数学成绩也证明这个省份的教学资源比较差,导致学生们在数学成绩方面普遍不行。

这次联考也凸显出数学难度比较大。为了拉开差异,很多老师在命题的时候就会增加数学难度,由于不同省份学习资料不一样,在联考的时候很可能会出现水土不服的情况,这次联考也暴露出不同地区在教育环境上面存在很大的差异,教育部门一直在提倡教育公平教育资源,千万不能集中在某一个地方,大三的孩子也有权利去接受更好的教育,他们才能走出山村融入大城市。

很多城市为了比个输赢,经常会举办联考。由于各个地方贫富差距和教学资源都不一样,每个省份都是自主命题,所以在公平上面也一直被许多学生诟病,我相信在未来国内的所有城市全部会实行统一试卷统一考试,让所有的考生全部站在同一起跑线上,不是每个省份分开考试,这样才能优中选优,选出更好的学生。

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用初中数学破解:2021年八省联考立体几何大题

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北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定∶多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如∶正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是 ,所以正四面体在各顶点的曲率为 ,故其总曲率为 .

(1)求四棱锥的总曲率;
(2)若多面体满足∶ 顶点数-棱数+面数=2,证明∶ 这类多面体的总曲率是常数.

【解答第1问】
四棱锥有5个顶点和5个面,其中1个四边形,4个三角形,其面角总和 =
总曲率=

【解答第2问】

如图所示,对于平面上的n边形,在多边形内任取一点Q,可以将其拆分为n个三角形。因为任意三角形的内角之和等于180度,所以,这些三角形的内角之和等于: ; 由于在点Q处还有一个 角,所以,n边形的内角之和等于: ,也就是: .

对于多面体的每个面依法炮制,可得三角形的数量 = 棱数 × 2
可得 角的数量 = 面数

按照曲率公式,
总曲率 = 顶点数 - (棱数 - 面数 ) = (顶点数-棱数+面数)

证明完毕.

【回归教材】
多边形的内角和是几何学的一个基本问题,人教版《数学-八年级上册》(第21页)第11章 §11.3.2 的标题即为:《多边形的内角和》
可见,本题考查的属于:基本概念和基本方法。

【提炼与提高】
为什么有好多学生感觉这个题很难?原因在于:它太基本了,在经过大量的、重复性的机械的训练之后,学生已经不会用基本的方法解决问题。遇到这样和所有『题型』都不靠的问题,就无从下手。
为了成功解答本题,考生要过几关:
1)读懂题目,关键是在几分钟内理解一个新的概念:多面体的曲率。
2)掌握多边形内角和公式的推导过程,而不仅仅是结论。
3)经过观察和归纳,得出结论:三角形的数量=棱数×2. 这点并不难,但现实中就是有人做不到。

多年来,中学数学的教学存在一种理论与实践脱节的倾向:专家们不断强调数学思想和方法;中学教师一直在带着自己的学生拼命刷题。

八省联考数学卷,向大家传递了这样一个信号:命题人办法是很多的。在对高考制度不进行大变的前提下,加强对于学生能力的考查,是完全可以做到的。

对于备考的学生和教师来说,我的建议是:
1)多思考,多总结;切忌盲目做题。
2)花点时间读读教科书,包括初中和高中的教科书,会用到的。

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